Primtal og andre af naturens hemmeligheder

Niels Lauritzen With a little help from GAI , Aarhus Universitet

De naturlige tal

Berømt citat af Kronecker.

Die ganzen Zahlen har der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Definitioner

De naturlige tal er Hov! Lærte vi ikke i skolen at de starter med $1$ ? . De betegnes med symbolet (blackboard bold).

LLM
💬
```
Does the natural numbers begin with zero?
```
| ChatGPT | Claude | Copilot | Gemini | HuggingChat | Mistral |
Vi siger at $d$ går op i $b$ og skriver $d \mid b$ , hvis der findes $a$ så $b = a d.$ Eksempler: $3 \mid 15$ og $n \mid 0$ for alle $n$ !
Et primtal er et naturligt tal med præcis to divisorer. Med denne definition er er altsa ikke et primtal!

Disse tal er de smukkeste, men samtidig også særdeles mystiske objekter i matematikken.

LLM
💬
```
Why is 1 not a prime number?
```
| ChatGPT | Claude | Copilot | Gemini | HuggingChat | Mistral |

Det naturlige tal $0$ har en meget interessant historie.

LLM

💬

Tell me about the history of the number 0.

Eratosthenes' si

Se Javascript animation

LLM

💬

Can you show me a javascript animation of the sieve of Eratosthenes.

Eratosthenes (276 -- 194)

💬

Summarize the life of Eratosthenes emphasizing his contributions to math and science.

Matematikkens forunderlige styrke!

💬

How did Eratosthenes measure the circumference of the Earth. Explain in a few lines.

Cosmos (1980)

Naturvidenskabelig formidling i verdensklasse!

Euklids elementer og primtal

Bog IX, Proposition 20

💬

Summarize the life of Euclid emphasizing his contributions to math and science.

Mersenne primtal

Primtal på formen $M_n = 2^n-1$ .

$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|ccccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline M_n & 1 & \color{red}{3} & \color{red}{7} & 15 & \color{red}{31} & 63 & \color{red}{127} \end{array},$

Donald B. Gillies opdagede tre nye Mersenne primtal. Poststemplet fra UIUC blev udskiftet senere efter firefarve problemets løsning Gillies boede tre huse væk fra Appel i Urbana .

💬

Tell me about Mersenne prime numbers

Lad os (eller computeren) regne

Vi benytter computeralgebrasystemet Sage til at regne med.

Opgave

Hvor mange cifre har $M_{11213}$ ?

Er $M_n = 2^n-1$ et primtal, hvis $n$ er et primtal? Er $n$ et primtal, hvis $M_n$ er et primtal?

Florida man stumbles on biggest prime number ..

Pas på med computermatematik!

WolframAlpha er et meget brugt CAS værktøj på gymnasiet og universitetet. Her en lille morsomhed fra mit indledende matematikkursus IMO:

💬

What is $-\sqrt{\frac{1}{2}(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3 - 2\sqrt{2}})}$?

Entydig faktorisering og krypto

$2\cdot 3 \cdot 11\neq 5\cdot 13$

Gauss (1777--1855)

💬

Summarize the life of the mathematician Gauss emphasizing his most important contributions to math and science.

Euler og den harmoniske række

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty$

Euler (1707 (15/4) - 1783)

💬

Summarize the life of the mathematician Euler emphasizing his most important contributions to math and science.

Hvor langt kan man nå ud?

💬

Suppose you have a deck of cards of equal length and you pile one on top of the other extending from a table. How far can you make the last card extend from the table edge without the pile falling down? A deck has 52 cards in it.

Lidt finansiel matematik (betalingsrækker)

Med en rente på $r = 5$ procent per år, hvad er $100$ kroner udbetalt om to år værd?

$x (1 + r)^2 = 100 \quad\implies \quad x = \frac{100}{(1 + r)^2} = 100 q^2, \qquad\text{hvor}\qquad q = \frac{1}{1+r}.$

Værdien af løbende udbetalinger af $100$ kroner hvert år

$L = 100(q + q^2 + q^3 + ) = ?$

Formel for den geometriske række:

$1 + q + q^2 + = \frac{1}{1-q}\qquad\text{dvs}\qquad L = 100\frac{q}{1 - q} = 2000, \quad\text{for } r = 0.05.$

Euler var ikke bange af sig ...

Entydig primtalsfaktorisering giver ...

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+\cdots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}\,\, \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}\,\,\frac{1}{1 - \frac{1}{5}}\cdots$

eller

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+\cdots = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots \right)\left(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \cdots \right) \cdots$

En funktion på de reelle tal!!!

$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s}+\cdots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^s}}\,\, \frac{1}{1 - \frac{1}{3^s}}\,\,\frac{1}{1 - \frac{1}{5^s}}\cdots$

Her er $\zeta(1) = \infty$ , men faktisk er $\zeta(s) < \infty$ for $s > 1$ .

Som Euler viste

$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}.$

På YouTube lærer man at

$\zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + \cdots = -\frac{1}{12}$

💬

Is it really true that the sum of all the natural numbers is -1/12?

Rentes regning

$1000$ kroner bliver med $10$ procent i rente om året til

$1000 (1 + 0.1) = 1100 \text{ kroner}.$

Hvis renten tilskrives månedligt bliver det

$1000 (1 + \frac{0.1}{12})^{12} = 1104.71 \text{ kroner}$

Hvis renten tilskrives dagligt bliver det

$1000 (1 + \frac{0.1}{365})^{365} = 1105.16 \text{ kroner}$

Eksponentialfunktionen er helt central

$e^x = \lim_{n\to \infty}(1 + \frac{x}{n})^n = (1 + \frac{x}{\infty})^\infty.$

Renten tilskrevet hvert nanosekund giver

$100\, e^{0.1} = 1105.17 \text{ kroner}.$

Dvs hvis renten tilskrives hvert nanosekund, tjener vi omkring $5$ kroner i forhold til den årlige rentetilskrivning.

Beregning af $e = e^1$ :

Hvordan udregnes $2^{\sqrt{2}}$ ??

Husk på regnereglen

$(a^b)^{^c} = a^{b c}$

Logaritmen er defineret ved

$n = e^{\log(n)}.$

Derfor er

$n^x = (e^{\log(n)})^{^x} = e^{x \log(n)}$

$2^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2} \log(2)}$

Udregningen kun mulig gennem eksponentialfunktionen i modsætning til

$2^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{2}^4}.$

$f(x) = e^x$ for $x\in \mathbb{R}$

Funktionen $f(x) = e^x$ er nu defineret for alle tal $x\in \mathbb{R}$ . Faktisk kan kan udregne

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

Hvad med de komplekse tal?

$\mathbb{C} = \{a + b i \mid a, b\in \mathbb{R}\}?$

Et dansk islæt!

Caspar Wessel (1745 - 1818).

Foreslog den geometriske fortolkning af komplekse tal.

Umulighed eller elegant abstraktion?

$\sqrt{-1}?$

$i = \sqrt{-1}\quad\text{eller}\quad i^2 = -1$

Regneregler?

$(a + b i)(c + d i) = ?$

Mirakuløse uendelige formler!!

Vi har set, at

$e^x = (1 + \frac{x}{\infty})^\infty = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots$

For de trigonometriske funktioner har vi

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

Den smukkeste identitet i verden!

$e^{i\, x} = \cos(x) + i \sin(x)$

$e^{i \pi} + 1 = 0$

Potenser som er komplekse tal!

For

$s = x + i y$

$\begin{aligned} n^s &= e^{s \log(n)} = e^{(x + i y) \log(n)} = \cdots \\ &= n^x \left(\cos(\log(n) y) + i \sin(\log(n) y)\right) \end{aligned}$

Dette giver zeta-funktionen for (næsten alle) komplekse tal $s = x + i y\in \mathbb{C}$ :

$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^s}}\,\, \frac{1}{1 - \frac{1}{3^s}}\,\,\frac{1}{1 - \frac{1}{5^s}}\cdots$

Eneste undtagelse er $s=1$ .

Bernhard Riemann (1826 - 1866)

Den banebrydende artikel

Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse

\quad (1859)

Riemann hypotesen

Alle nulpunkter for $\zeta(s)$ ligger på en bestemt lodret linje:

$\zeta(x + i y) = 0 \implies x = \frac{1}{2}.$

Hvad har det at gøre med primtal?

$\pi(x) =$ antallet af primtal $\leq x$ :

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{r|r|r} x & \pi(x) & \pi(x)/x \\ \hline 10 & 4 & 0.400\\ 100 & 25 & 0.250\\ 1000 & 168 & 0.170\\ 10000 & 1229 & 0.120\\ 100000 & 9592 & 0.090\\ 1000000 & 78498 & 0.080\\ 10000000 & 664579 & 0.066\\ 100000000 & 5761455 & 0.058\\ 1000000000 & 50847534 & 0.051 \end{array},$

Er der en lovmæssighed?

Gauss opdagede ved at studere tabeller (som $14$ -årig!!!):

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{r|r|r|r} x & \pi(x) & \pi(x)/x & 1/\log(x) \\ \hline 10 & 4 & 0.4 & 0.43\\ 100 & 25 & 0.25 & 0.22\\ 1000 & 168 & 0.17 & 0.14\\ 10000 & 1229 & 0.12 & 0.11\\ 100000 & 9592 & 0.09 & 0.09\\ 1000000 & 78498 & 0.08 & 0.07\\ 10000000 & 664579 & 0.066 & 0.062\\ 100000000 & 5761455 & 0.058 & 0.054\\ 1000000000 & 50847534 & 0.051 & 0.048 \end{array}$

Gauss og Riemann

Gauss opdagede at

$x/\pi(x) \sim \log(x)\qquad \text{eller}\qquad \pi(x) \sim x/\log(x)$

En bedre approksimation er

$\operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log(t)}$

og endnu bedre er Riemanns approksimation

$\operatorname{R}(x) = \operatorname{Li}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{Li}(\sqrt{x}) - \frac{1}{3}\operatorname{Li}(\sqrt[3]{x}) - \cdots$

Approksimationer til $\pi(x)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{r|r|r|r|r} x & \pi(x) & x/\log(x) & \operatorname{Li}(x) & \operatorname{R}(x)\\ \hline 10 & 4 & 4.3 & 6.2 & 4.6\\ 100 & 25 & 21.7 & 30.1 & 25.7\\ 1000 & 168 & 144.8 & 177.6 & 168.4\\ 10000 & 1229 & 1085.7 & 1246.1 & 1226.9\\ 100000 & 9592 & 8685.9 & 9629.8 & 9587.4\\ 1000000 & 78498 & 72382.4 & 78627.5 & 78527.4\\ 10000000 & 664579 & 620421 & 664918 & 664667 \end{array}$

Det største tal i verden!

Det ser ud til at $\pi(x)$ altid er mindre end $\operatorname{Li}(x)$ , eller ... Faktisk kan man vise at der findes et tal $y$ mindre end

$10 ^{\displaystyle 10^{\displaystyle 10^{\displaystyle 34}}}$ med $\pi(y) > Li(y)$ .

Primtal, Riemann hypotesen og kernefysik

Hvis Riemann hypotesen holder, så gælder en meget veldefineret ulighed omkring primtallenes fordeling:

$|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log(x)\quad \text{for } x\geq 2657.$

Freeman Dyson

Videnskabsmænd mødes og sød musik opstår!